Корреляция и размерность

В физическом смысле, наличие корреляции между двумя величинами и понижает размерность фазового пространства пар .

Счастливые билеты

В наземном общественном транспорте в СПб продают билеты, занумерованные шестизначными числами, причём возможны ведущие нули(например, 010107).

Есть популярное определение счастливого билета: билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр и последних трёх совпадают. Таких билетов немного: 55252 или 5.5% от общего числа.

Вероятность выловить счастливый не велика, а почувствовать себя счастливым и мозг занять хочется. Поэтому есть другое определение: билет называется счастливым, если можно
поставить знаки между цифрами и с помощью скобок задать порядок выполнения действий так, чтобы получилась сотня.  При этом перед первым числом можно ставить унарный минус, любая группа цифр без знаков между ними превращается в число, а между соседними цифрами может стоять максимум один знак. Например, имея билет 869308, можно собрать сотню как 8+6*9+30+8.

Это определение интереснее, потому что проверить, является ли билет счастливым не так легко: иногда на это уходит вся поездка, а если собрать сотню не получилось, то не ясно: может быть просто не внимательно искал. С 10 класса из, наверно, 30 билетов я не собрал сотню только 3 раза, и мне уже давно было интересно, сколько же счастливых билетов согласно этому определению. Наконец-то руки дошли написать программу: оказывается их 924587 или 92.4% от общего числа, что позволяет вылавливать счастливый билет очень часто

Гипотеза Симония

Gabor Simonyi, занимаясь какими-то ненаправленными кодами, сформулировал следующую гипотезу.

Пусть — множество из элементов, а — два таких набора подмножеств , что и верны два условия:

• 
• 

Тогда произведение мощностей и ограниченно:  

Если неравенство будет установлено, то оценка будет точной. Примеры можно привести следующие: выбираем  некоторое подмножество , после чего полагаем как множество всех подмножеств , а — как множество всех надмножеств.

В статье Holzman и Korner приводится оценка мощности произведения как ,  где .  При этом авторы не используют всей полноты условия.

Смирновский семинар 10.03.29

В понедельник М. И. Белишев давал доклад на Смирновском семинаре.  Название было таким: “Symmetric operators, algebras and inverse problems”.

Задачи, упомянутые в докладе, мотивировались конкретной прикладной задачей, формулирующейся следующим образом. Нужно извлечь информацию о полезных ископаемых или структуре слоя земли без разведки, считывая возвращающиеся от взрыва волны.

Один из вариантов математической задачи следующий: предположим, что существует компактное Риманово многообразие с краем, на нём рассмотрели  лапласиан и все его собственные функции. После чего нам показали собственные числа и значения нормальных производных этих собственных функций на крае:  . Нам же нужно построить многообразие, порождающую такие же данные.

Лапласиан возникает из волнового уравнения, а такие данные, видимо, из анализа волн. На многообразии рассматривается пространство измеримых функций , рассматривается алгебра  всех ограниченных операторов на этом пространстве, а затем конструируется под-алгебра, являющаяся алгеброй фон Неймана, связанная с лапласианом. Оказывается, что вся информация о многообразии содержится как раз в этой под-алгебре: множество всех максимальных, с точки зрения частичного порядка операторов, элементов под-алгебры с операторной метрикой будет порождать многообразие, изометричное исходному.

Факты о группах Ли

1. Если  группа Ли, а её замкнутая подгруппа, то также является подгруппой Ли.
2. Не всё есть группа Ли.